勾股定理的发现

2013年06月14日

    勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理。它主要说明在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²。西方数学史家通常把勾股定理的发现归功于古希腊哲学家毕达哥拉斯，并称之为“毕达哥拉斯定理”。其实，我国现存最古老的算书《周髀算经》《以下简称《周髀》）的记载，早在公元前11世纪西周开国时代，有个名叫商高的“大夫”已经明确指出了“勾三股四径五”的关系。比毕达哥拉斯要早500年！

    “髀”原义为股骨，这里指的是古代测量日影的表尺：“周髀”则意为记载从周代传下来的一些天文测量算法。汉唐时代，《周髀》一直被列入《算书十经》之首。该书分上下两卷，是“盖天论”的代表作。全书以西周开国功臣周公与商高的一段对话开始。这段对话生动地描绘出一位贤明谦恭的政治家和一位渊博睿智的学者的鲜明形象，至今读来饶有兴味。

    周公先问商高，听说他精通数学，古时候伏羲氏测天制历，而天无台阶可攀，地难尺寸度量，请问数从何而来？周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”就是说，矩形以其对角相折所称的直角三角形，如果勾（短直角边）为3，股（长直角边）为4，那么弦（斜边）必定是5。从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。周公又“请问用矩之道”，商高详细讲解了各种用矩测量的方法。最后周公叹服地说：“善哉！”

    这段对话不仅揭示了勾股径的关系，而且充分体现了中国古代数学的特点：形与数结合，理论与应用结合。

    如果说，商高仅得到“三四五”这一勾股定理的特例，那么在《周髀》卷上之二中，通过另外两个人陈子与荣方对如何测量太阳到地球距离的讨论，进一步得到“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这已经是勾股定理的一般形式了。

    根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。《周札》卷十《地官。大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。”两者何其相似。曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。至今河南登封县还有周代观景台遗址。《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。

    《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。夫子之道，皆能知之。”可见陈子也是精通天文历算的学者。

    顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测日高相比，真是小巫见大巫了！（来源：中国文化网）