话说“无限”

2011年09月16日

    说起无限，似乎无须解释，人人都懂。可是若问起究竟什么是无限，却又往往一脸迷茫。

　　诗句“无限风光在险峰”、“夕阳无限好”，浅近如白话。其中的形容词“无限”，表达了人们的一种愿望。因为风光之好，夕阳之好，是没有方法限制的，所以说“无限好”。自然科学里，也要涉及无限。例如，物质可以无限分割，化合物的种类，生物的进化，都是无限的过程。不过，这里涉及的无限，不过是一种信念，类似于哲学上关于“宇宙是无限的”的学说。可是，根据现代宇宙学的研究，宇宙有起点，也会消亡，因而其实是有限的。

　　只有数学，才是正面进攻“无限”的科学。

　　最简单的自然数，就是无限多的。老子《道德经》说得明白：

　　“道生一，一生二，二生三，三生万物。”

　　这就是说，自然数从0（在老子那就是“道”）开始，一个接一个产生，一、二、三……乃至无穷无尽。愚公移山故事说：“子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”这里的“无穷匮”恰和自然数不断后续的意境相通，即子子孙孙构成了一个无限的自然数集。现在许多人喜欢说“我有n个办法”，这个n本身是有限的数字，但却没限制它的大小，可以说爱多大就多大。

　　无穷无尽，没完没了，是自然数的特征。

　　可是数学家没有到此为止。他们自我设问：“自然数是没完没了的‘无限’，那么所有自然数所成的集合，是怎样的无限呢？”回答是，前者是潜在的没完没了的“潜无限”，后者是实实在在的“实无限”。这就让我想起了杜甫《登高》诗里的名句：

　　“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”。

　　“无边落木”，那是指实无限，而“滚滚来”则是潜无限了。数学意境和人文意境之间竟然会如此接近。

　　无限，是人类能动大脑的产物，直观地理解起来没有困难。从小学开始，先是遇到无限循环小数，接着是无限不循环小数，特别是圆周率π。几何学里的无限是平行，教科书上写着：“两条直线，如果无限延长永远不相交，称为彼此平行。”何谓“无限延长”？无限，是做不到的，也无法检验。因而平行只能是依靠人的直觉想象而完成的数学思维活动。奇怪的是，这种涉及“无限”的概念，学生接受起来却并不困难。您听说过因为不懂“无限延长”而数学不及格的学生吗？

　　无限的作用，在于“极限”概念。熟知的便是“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，徐利治先生则从李白的“孤帆远影碧空尽”一句，形容一个连续地趋向于零的无穷小量，煞是传神。

　　牛顿站在前人的肩膀上，用呼之即来挥之即去的无穷小量创立了微积分学。贝克莱大主教批评牛顿的无穷小量是“逝去的鬼魂”。可是，微积分依然所向披靡，让“无限”拥有了无限的风光。19世纪末，终于把牛顿的无穷小量奠定在严格的基础上。

　　真正向无限进军的勇士是德国数学家康托。他建立的集合论是专门用来处理无限集合的。康托说，如果给定两个集合，而且彼此之间能建立起一一对应，就认为它们的元素一样多。于是怪事来了：集合的部分和全体可以一样多。例如“整数和偶数一样多，因为整数n和偶数2n之间可以建立起一一对应”。由此一发不可收，又论证有理数和整数一样多。进一步，说全体实数肯定比有理数多。于是无限大被分成了大小不同的等级，各个等级的大小用基数来表示。集合论震动了世界。

　　康托有一个论证说，任何集合M的所有的子集所成的集合G，G的基数一定大于M的基数。由此可知，集合的基数，没有最大，只有更大。于是，他问自己：“一切集合构成的集合”，原本应该是最大的集合了，却和他自己“没有最大基数”的结论矛盾起来。据说康托为此得了抑郁症，进了精神病院。

　　时至今日，无限依然是人人明白易懂的直觉，但是随着微积分进入中学数学课程，它的身价已经超出朴素认知的范围。无限的智慧，正在成为未来公民的一种素养。（张奠宙）